Roll teoremi
Roll teoremi — parçanın uclarında bərabər qiymətlər alan funksiyanın törəməsinin sıfırları haqqında diferensial hesabının əsas teoremi.
== Teorem ==
Teorem.
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
parçasında kəsilməz,
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
intervalında differensiallanan
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
funksiyası
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
parçasının uc nöqtələrində bərabər
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
qiymətləri alırsa, onda
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
intervalında yerləşən heç olmasa bir elə
γ
{\displaystyle \gamma }
nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra bərabərdir:
f
′
(
γ
)
=
0
{\displaystyle f'(\gamma )=0}
.
== İsbatı ==
Funksiya
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
parçasında sabit olduqda teoremin doğruluğu aydındır. Bu halda
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
-in törəməsi
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
intervalının bütün nöqtələrində sıfıra bərabərdir və
γ
{\displaystyle \gamma }
nöqtəsi olaraq istənilən nöqtəni götürmək olar.
İndi fərz edək ki,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyası sabit deyil. O,
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
parçasında kəsilməz olduğundan Veyerştrassın ikinci teoreminə görə özünün dəqiq aşağı
m
0
{\displaystyle m_{0}}
və dəqiq yuxarı
M
0
{\displaystyle M_{0}}
sərhədinin hər birini həmin parçanın heç olmasa bir nöqtəsində alır.
Sabit olmayan
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyası üçün
m
0
<
M
0
{\displaystyle m_{0}<M_{0}}
olar və
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
şərtinə görə funksiya
m
0
{\displaystyle m_{0}}
və
M
0
{\displaystyle M_{0}}
sərhədlərinin heç olmasa birini parçasının daxili nöqtəsində alar.
Tutaq ki,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyası dəqiq aşağı sərhəddini daxili
γ
{\displaystyle \gamma }
nöqtəsində alır:
f
(
γ
)
=
m
0
,
(
a
<
γ
<
b
)
{\displaystyle f(\gamma )=m_{0},(a<\gamma <b)}
. Onda kifayət qədər kiçik olan ixtiyarı
|
Δ
x
|
{\displaystyle |\Delta x|}
üçün
f
(
γ
+
|
Δ
x
|
)
≥
f
(
γ
)
{\displaystyle f(\gamma +|\Delta x|)\geq f(\gamma )}
,
buradan
f
(
γ
+
Δ
x
)
−
f
(
γ
)
Δ
x
≤
0
{\displaystyle {\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}\leq 0}
,
Δ
x
<
0
{\displaystyle \Delta x<0}
olduqda,
(
1
)
{\displaystyle (1)}
f
(
γ
+
Δ
x
)
+
f
(
γ
)
Δ
x
≥
0
{\displaystyle {\frac {f(\gamma +\Delta x)+f(\gamma )}{\Delta x}}\geq 0}
,
Δ
x
>
0
{\displaystyle \Delta x>0}
olduqda .